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Funções Reais: Funções Inversas

            Analisemos inicialmente a função  definida por  .

            Como não estamos dentro de um contexto particular, devemos considerar para seu domínio, como também para contradomínio, o conjunto IR, isto é:

: IR ® IR

            Assim observamos que:

·        existem elementos distintos que possuem a mesma imagem;

·        existem elementos do contradomínio que não fazem parte da imagem ( o (–1), por exemplo).

Esses fatos podem ser observados geometricamente quando:

·        traçamos uma reta paralela ao eixo das abscissas “acima“ desse eixo. Teremos dois pontos de intersecção dessa reta com a curva, gráfico de ;

·        traçamos uma reta paralela ao eixo das abscissas “abaixo“ desse eixo. Não teremos pontos de intersecção dessa reta com a curva, gráfico de .

Com esses fatos, podemos constatar que se estabelecermos uma relação , inversa da :

  : IR ¬ IR,

essa relação não será função pois:

·        existem pontos de IR que não possuirão correspondentes em IR ( o (-4) por exemplo));

·        existem elementos de IR que terão duas imagens.

Com essas considerações podemos dizer que existem funções que não possuem uma função inversa, a função definida acima é um exemplo. (Tens condições de apontar um bom número dessas funções.)

Assim, uma condição para que uma função possua uma função inversa, isto é, seja invertível, é a de que seja um a um:

Se a, b Î Dom() e a ¹ b então (a) ¹(b).

            Além dessa exigência deveremos ter o contradomínio da  igual ao domínio de sua inversa, ou melhor, contradomínio da  igual a sua imagem.

            Desse modo:

            Seja  uma função um a um com domínio A e contradomínio B onde y =(x). Se existe uma função  de domínio B e contradomínio A tal que x=(y) se e só se y =(x), dizemos que  é invertível e  é sua função inversa.

            Notaremos  como^-1 . Assim

 

            É fácil ver que (importantíssimo):

(^-1o)(x) = ^-1((x)) = x, para todo x do Dom

 

(o^-1)(x) = (^-1(x)) = x, para todo x do Dom^-1

 

 

Observe que se  é crescente (decrescente) então  é um a um pois,

 

Se a, b Î Dom() e  a < b então  (a) <(b)  (crescente) Se a, b Î Dom() e a < b então (a) >(b) (decrescente)

 

 e portanto temos uma das  condições necessárias.

 

Exemplos:

1) y = (x) =x ³. Dom=IR    Im() = IR.

Se x₁ e x₂  são reais e x₁ < x₂  então (x₁)=( x1)³< (x₂)=( x₂)³ – é um a um pois é crescente. (Faça sua representação geométrica).

Assim, para y =x ³ temos x = y³ Û y = =^-1(x)

As representações de  e ^-1 são simétricas à reta y = x.

2) Faça o trabalho do exemplo 1 para a função definida por y = (x) = ax + b com a e b reais.

3) Se  é dada por (x)= e não é apresentado o seu domínio e contradomínio, devemos considerá-los respectivamente [0, + µ) e IR. Desse modo, embora a função seja um a um, não possui imagem igual ao contradomínio e portanto não é invertível. No entanto a função

  :[0, + µ) ® [0, + µ) tal que (x)= ,

é inversível e sua inversa é a função :[0, + µ) ® [0, + µ) dada por (x) = x².

            Analise os exemplos que seguem verificando se os domínios e contradomínios apresentados são adequados para que existam:

 

4) (x) = e^{x   -1}(x)= ln(x)    :IR ®(0, + µ)

5) (x)=sen(x), ^-1(x)=arc sen(x) ;  :[-p/₂; p/₂] ®[-1; 1]

6) (x)=cos(x), ^-1(x)=arc cos(x) ;  :[0; p] ®[-1; 1]

7) 5) (x)=tan(x), ^-1(x)=arc tan (x) ;  :(-p/₂; p/₂) ®IR

 

            Entre as representações que seguem estão as relacionadas com as restrições inversíveis apontadas nos exemplos 4, 5, 6, 7.